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Por Flávio da Costa Gonçalves

Em muitos casos lidamos com frações, ou uma razão entre números inteiros diferentes de zero. Por exemplo, a quantidade de pedaços que uma pessoa comeu de uma pizza, ou os pedaços que sobraram de uma barra de chocolate. A matemática das frações é simples e utiliza regras que variam conforme as operações.


Soma e subtração

As regras para a soma e a subtração de uma fração dependem, basicamente, de seus denominadores. Por exemplo, considere a operação abaixo:

Como os denominadores são iguais nas duas frações, para calcular o valor desta operação, basta conservar o denominador e somar os numeradores:

Do mesmo modo, na subtração:

Os denominadores são iguais. Portanto, para saber o resultado final desta operação, subtraímos os numeradores como segue:

Por outro lado, se os denominadores são diferentes

Temos que calcular o MMC (Mínimo Múltiplo Comum) entre os valores do denominador, a fim de encontrar o menor número que divida as duas frações ao mesmo tempo. Entretanto, como forma geral, o MMC pode ser expresso como a multiplicação entre os denominadores. No caso acima, os denominadores são 4 e o 5, que multiplicados dão 45. Agora, pegamos o valor do denominador e o dividimos pelo numerador; o resultado novamente multiplicamos pelo numerador para finalmente encontrar o resultado:

Existe ainda um método alternativo muito mais simples do que o MMC para o cálculo de adições e subtrações de frações cujos denominadores são diferentes. Considere a fração de nosso último exemplo:

Para calcular o seu resultado, multiplicaremos o denominador da fração do lado direito pelo numerador da fração do lado esquerdo e o denominador da fração do lado esquerdo pelo numerador do lado direito, enquanto multiplicamos os dois denominadores:

De modo análogo, para a subtração:

Temos que:


Multiplicação e divisão de frações

A multiplicação de frações é uma operação simples; para obter o resultado basta multiplicar os numeradores e os denominadores:

A divisão de duas frações é feita da seguinte maneira:

Considere a divisão:

Uma das maneiras de resolvê-la é conservando a primeira fração e multiplicando-se pelo inverso da segunda fração:

Outra maneira é multiplicando o numerador da primeira fração com o denominador da segunda fração e o numerador da segunda fração com o denominador da segunda fração:



Potências

Quando são multiplicadas potências de uma mesma grandeza x, aplicam-se as seguintes regras:

Por exemplo:

Ou

Ao dividir potências de mesma grandeza, a regra é:
Por exemplo:

Por outro lado,

Uma potência que é uma fração corresponde a uma raiz, como segue:

Por exemplo:

Finalmente, para qualquer grandeza elevada a uma potência qualquer é dada por:

A tabela abaixo resume a regra dos expoentes:

Regra dos expoentes
Expoente zero
Expoente unitário
Multiplicação de bases
Divisão de bases
Expoente fracionário
Multiplicação de expoentes