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A análise da cena

A cena analisada se desenvolve durante o retorno de Homer Simpson a cidade de Springfield. Saindo do Alasca, Homer utiliza um trenó puxado por seis cães (identificados como sendo da raça Malamute do Alasca). E, durante a viagem, Homer salta por um vão aparentemente muito grande entre dois penhascos (figura 1) e pousa em segurança do outro lado.

Figura 1: A imagem da cena analisada, em que Homer Simpson sobrevoa um vão aparentemente muito maior grande. A partir da imagem e dos dados, tentaremos calcular se é possível que esta cena realmente aconteça.

O que analisaremos a seguir é se a cena é fisicamente possível, ou seja, se reproduzirmos a cena analisada nas condições do filme, ela irá ser bem-sucedida? Obviamente, em um primeiro momento, a resposta a pergunta de todo o espectador deste filme é não, mas faremos nossa análise com base nos dados coletados.

Inicialmente, vamos coletar alguns dados relativos aos personagens e fatores naturais que compõem a cena. São eles Homer Simpson, o trenó, os cães e sua respectiva velocidade, o ângulo de lançamento e a distância entre os dois penhascos.

Nossa tarefa será em parte facilitada, pois o coeficiente de atrito entre a neve e o trenó é quase nulo.

Em uma rápida pesquisa a internet, descobrimos que a massa de um homem norte americano é de aproximadamente 79 kg, enquanto sua estatura média é de 1,78m. Da mesma forma, encontramos a massa dos cães que puxam o trenó de Homer, que para o macho da espécie Malamute do Alasca, é de 38 kg e seu respectivo comprimento, ao redor de 65 cm. Em corridas de trenó na neve, os melhores cães, ou seja, os que possuem as melhores velocidades raramente ultrapassam os 20 km/h (é importante observar que neste tipo de corrida, os trenós não levam outra carga a não ser o “piloto” e uma pequena carga de isopor, que são utilizados para contrabalançar e melhorar a posição do centro de massa do trenó).

Além de medir, uma rápida busca na internet nos dá o valor da massa do trenó como sendo de 45 kg e capacidade de carga de até 190 kg. Portanto, estimando a massa de Homer Simpson em 120 kg e a carga o trenó de 45 kg, a massa total da carga do trenó é de 165 kg. O comprimento do trenó, medido e convertido na escala real, é de 6,5 m.

Mas, como definir o ângulo de lançamento, ou seja, qual deve ser o ângulo em que Homer e seu trenó saltam sobre o vão que separa os dois penhascos? Utilizando uma régua graduada em centímetros, podemos calcular indiretamente qual o ângulo de lançamento, conforme a figura 2.

Figura 2: A coleta de dados para o cálculo do ângulo de lançamento do trenó de Homer.

Pelos cálculos é possível notar (e aparentemente também) que este ângulo é muito pequeno perto da distância que Homer deve atravessar. Portanto, utilizando as relações trigonométricas, podemos calcular o ângulo de lançamento de Homer:

Calculando o arco tangente de 0,2 (tg^-1 de 0,2), encontramos 11,3°. Este valor é muito menor do que o melhor ângulo de lançamento de um projétil, que é de 45°, o que nos dá uma pista de que pode ser impossível fisicamente que Homer ultrapasse o vão. Para calcular a distância entre os dois penhascos, ou seja, a distância de voo de Homer precisamos definir a distância real. Distância real é a distância ou o tamanho real da imagem que está sendo exibida. Em outras palavras, precisamos definir a escala da imagem que é exibida na cena analisada. Para tal, utilizamos a imagem de um dos cães para definir a escala da imagem que nos é exibida.

Sabemos que o tamanho real do cão é de aproximadamente 65 cm. Na imagem, medimos um cão como tendo 0,5 cm de comprimento, conforme a figura 3. Assim, podemos definir o valor real de cada imagem pelo tamanho da imagem, por uma simples regra de três: Imagem (cm)                        Imagem  Real (cm) 0,5 --------------------------------------------- 65 1 ---------------------------------------------- X

Figura 3: a medida do tamanho do cão nos permitirá calcular a escala da imagem.

Assim, x = 0,5 cm x 65 cm = 130 cm ou 1,30 m.

Então, medindo com o auxílio de uma régua o tamanho do vão entre os dois penhascos (figura 4), encontramos o valor de 14 cm. Multiplicando este valor por 130 cm, temos:
14 cm x 130 cm = 1820 cm = 18,20 m.

Desta forma, a distância de voo de Homer é de 18,20 m. Será que o personagem conseguirá, fisicamente analisando, chegar até o outro ponto?

Figura 4: A distância real do vão entre os dois penhascos que Homer Simpson atravessa.

Desta forma, chegamos aos seguintes dados coletados para o problema e que nos serão úteis para calcular e analisar o resultado físico. Nossa pergunta inicial “seria possível Homer Simpson atravessar o vão entre os dois penhascos e ainda pousar em segurança?” está mais perto de ser respondida.

Vamos aos dados do problema:

• Homer Simpson:
Massa estimada em 120 kg;
Altura de 1, 78 m;

• Trenó:
Massa: 45 kg da carga + 120 kg de Homer = 165 kg + 45 kg da massa do trenó = 210 kg
Comprimento: 6,5 m;

• Cães:
Raça: Malamute do Alasca;
Massa de cada cão: 38 kg
Comprimento de cada cão: 65 cm;
Velocidade média máxima: 20 km/h.

• Distância real calculada entre os dois penhascos: 18,20 m.

• Ângulo de lançamento: 11,3°

Com base nos dados coletados a cena e analisando o tipo de movimento, concluímos que se trata de um lançamento oblíquo, ou seja, este é um tipo de lançamento que depende de uma velocidade inicial e de um ângulo de lançamento. Esta relação é expressa por:

Onde R é o alcance (m) ou distância entre os dois pontos, v_i^² é a velocidade inicial (m/s), sen (2θ_i ) é ângulo de lançamento e g é a aceleração da gravidade (m/s²). Como estamos interessados na velocidade inicial de lançamento, ou seja, qual deve ser a velocidade em que Homer salta, vamos colocar esta expressão em função de v_i². Assim, encontramos:

Substituindo os dados na expressão (2), temos:

Convertendo o valor para a velocidade em km/h, encontramos 76,1 km/h. Se compararmos este valor com o valor da velocidade máxima que os cães desta raça tem em corridas no gelo vemos que os cães de Homer são quase quatro vezes mais velozes que os cães de corrida!

Como comparação, vamos supor duas situações: na primeira, se Homer Simpson é lançado em um ângulo de 45°, qual será sua velocidade? Na segunda, se os cães estiverem em sua velocidade máxima (20 km/h), qual será o maior alcance que o trenó de Homer obterá, desprezando todos os efeitos do peso?

Na primeira situação, temos que o ângulo de lançamento é de 45°, e, portanto, sen (2θ_i ) é igual a 1. Assim:


Novamente, a velocidade de Homer é muito maior do que a velocidade máxima que os cães podem correr.

Agora, para a segunda situação, calcularemos o alcance que Homer Simpson e seu trenó obterá se a velocidade for a máxima velocidade com que os cães podem correr em uma corrida de gelo real. Então:


O valor encontrado é próximo, mas ainda assim, inferior ao valor da distância entre os dois pontos, que é de 18,20 metros. Assim, é fisicamente impossível que Homer atravesse em segurança o vão, ao contrário do que mostra a cena do filme.

Se analisarmos qualitativamente a cena, vamos obter os seguintes pontos:

• O peso de Homer e de seu trenó é de 2058 N, enquanto o peso somado dos cães é de 2234 N. Assim, cada cão carrega 847,4 N. Ou seja, cada cão carrega até 2,27 vezes o seu peso, o que torna quase impossível que cada cão consiga atingir uma velocidade maior do que 10 km/h (lembrando que, em corridas de trenó, cada cão leva em média 300 N);

• O tempo de voo é de 1,3 segundos, o que significa que os cães têm uma velocidade de 14 m/s ou de 50, 4 km/h. Portanto, a velocidade durante o voo é menor do que a velocidade mínima que o trenó de Homer deveria ter para atravessar o vão;

• Supondo que a velocidade empregada aos cães que puxam o trenó seja de 20 km/h, o ângulo de lançamento deveria ser de 71,3°, isto é, quase 6,5 vezes do ângulo real.

Conclusão:

Após analisar os dados e resultados, concluiu-se que é impossível para Homer atravessar o penhasco, não apenas por que o ângulo de lançamento é muito pequeno, mas também, porque a velocidade máxima que os cães podem empregar é muito menor do que a necessária para que isso possa ocorrer. Também é possível comprovar que é provável que os cães não conseguissem sequer saltar, pois o peso que eles precisam carregar é muito grande.